Функция плотности распределения вероятностей (ФПРВ) и интегральная функция распределения (ИФР) представляют собой функции вероятности некоторой непрерывной переменной. Применительно к прогнозам, они могут отображать распределение прогнозируемых значений.
Мы начнем наше обсуждение ФПРВ и ИФР, используя нормальные распределения. Затем мы перейдем к более реалистичным асимметричным распределениям, в соответствии с которыми обычно распределены гидрологические переменные.

На обеих диаграммах ось X проградуирована в единицах самих данных, в данном случае в таких единицах стока, как кубические метры в секунду или кубические футы в секунду. На оси Y отображена вероятность по шкале от 0 (означает маловероятно) до 1.0 (означает вероятность 100%).

Начнем с простого примера детерминистского прогноза, который показывает сток объемом 600 единиц стока. На диаграмме ФПРВ есть одна точка с вероятностью 1.0 при значении стока в 600 единиц. На диаграмме также показана одна вертикальная линия. На диаграмме ИФР отображена одна линия с вероятностью 0.0 для всех значений стока менее 600 единиц; далее суммарная вероятность становится равной 1.0 при значениях стока 600 единиц или более.
Диаграммы ФПРВ и ИФР:
Однако диаграммы ФПРВ и ИФР обычно используются для более чем одного прогнозного значения. Поэтому эти кривые показывают разброс значений по мере изменения вероятности. Эти диаграммы могут быть построены на основе или вероятностных прогнозов, или множества детерминистских прогнозов с одним значением. При использовании нескольких прогнозов диаграммы ФПРВ и ИФР отражают распределение этих прогнозов.
Позже мы увидим, как можно использовать ИФР для множества прогнозируемых значений или для вероятностных прогнозов и сравним эти данные с одним наблюденным значением. Это будет положено в основу показателя, называемого показателем ранжированной вероятности.

ФПРВ показывает наиболее часто встречающиеся значения. Для этих кривых такие значения варьируются около 600 единиц.

ФПРВ также показывает, как значения распределены вокруг среднего значения. Острый узкий пик будет указывать на небольшое стандартное отклонение или очень надежные прогнозы.

Широкий низкий пик будет указывать на большее стандартное отклонение или бóльшую неопределенность прогноза речного стока.

Если пик возникает в другом месте по оси X, то это свидетельствует о другом среднем значении.

Поскольку это нормальные распределения, то медианное и среднее значения равны.

Область под кривой ФПРВ интегрируется до 1.0. Это важная характеристика, поскольку весь спектр данных представлен формой кривой.

Соответствующая диаграмма ИФР показывает вероятность непревышения данного порогового значения стока.

Например, в соответствии с диаграммой с большим значением дисперсии вероятность того, что мы увидим значение стока объемом 900 единиц или менее, составляет 90%. Это значение также можно рассматривать как вероятность непревышения. Иначе говоря, вероятность непревышения 900 единиц стока составляет 90%.

Наибольший положительный наклон соответствует наиболее часто встречающимся значениям, диапазоны которых для этих кривых пересекаются в значении 600 единиц.

Медианное значение на диаграмме ИФР соответствует вероятности непревышения 0.5, поскольку по определению медиана – это точка, относительно которой половина значений находится выше, а вторая половина – ниже.

Кривые ИФР для выборок с небольшой дисперсией охватывают меньший диапазон значений на оси X и рассматриваются как кривые с более крутым подъемом.

Бóльшие дисперсии представлены менее крутыми кривыми и охватывают бóльший диапазон значений на оси X.