
Nous allons maintenant prendre un exemple numérique de RPS pour notre vérification fondée sur 3 intervalles. Supposons que, selon une prévision probabiliste, la probabilité associée à ces divers intervalles, exprimée de 0,0 à 1,0, est de 0,20 pour un débit faible, de 0,60 pour un débit moyen et de 0,20 pour un débit élevé.

Supposons maintenant que le débit observé s’inscrive dans la catégorie des débits moyens. D'un point de vue probabiliste, cela signifie que la « probabilité » que l’observation tombe dans l’intervalle du débit moyen est de 1,0 et que la « probabilité » que l’observation tombe dans les deux autres intervalles est de 0,0.

Pour calculer le RPS de la prévision, nous utiliserons les probabilités cumulatives, parfois appelées probabilités de non-dépassement. Les probabilités cumulatives ont déjà été définies à la section 2 de ce module.
Valeurs de la probabilité cumulative pour le calcul du RPS.
| Probabilité cumulative prévue | Probabilité cumulative observée | |
|---|---|---|
| Intervalle 1 : faible débit | ||
| Intervalle 2 : débit moyen | ||
| Intervalle 3 : débit élevé |
Tout d'abord, la probabilité prévue pour l’intervalle « faible débit » est de 0,20. Comme il s'agit du premier intervalle, la probabilité qui s'y associe est égale à la probabilité cumulée.
Ensuite, la probabilité prévue pour l’intervalle « débit moyen » est de 0,60. La probabilité cumulée correspond à la somme des intervalles « faible débit » et « débit moyen », soit 0,20 plus 0,60. La valeur de cette probabilité cumulée est de 0,80.
Vient ensuite la probabilité cumulée de l’intervalle « débit élevé ». Cette valeur est de 1,0, car elle est égale à la somme de toutes les probabilités prévues pour les différents intervalles. Comme vous pouvez le voir, pour le dernier intervalle, la probabilité cumulée est toujours égale à 1.
Maintenant que nous connaissons les probabilités cumulatives prévues pour chaque intervalle, regardons les probabilités cumulatives observées. La probabilité observée de l’intervalle « faible débit » est de 0,0, car un débit moyen a été observé.
La probabilité observée pour le « débit moyen » est de 1,0, car c'est celui qui a été observé, sans qu'il soit dépassé. La probabilité cumulée est donc de 1,0.
La probabilité observée du débit élevé est de 0,0, car seul un débit moyen a été observé. La probabilité cumulée du débit élevé est toutefois de 1,0 car, dès lors que la probabilité cumulée a atteint 1,0 (ce qui est le cas pour l’intervalle « débit moyen »), elle ne change plus de valeur.
Valeurs de probabilité cumulative pour le calcul du RPS.
| Probabilité cumulative prévue | Probabilité cumulative des observations | |
|---|---|---|
| Intervalle 1 : faible débit | 0,20 | 0,00 |
| Intervalle 2 : débit moyen | 0,80 | 1,00 |
| Intervalle 3 : débit élevé | 1,00 | 1,00 |
Maintenant que le tableau est rempli, nous pouvons calculer la valeur du RPS à l'aide de l'équation.

Σ[(0,20-0,00)2 + (0,80-1,00)2 + (1,00-1,00)2] = Σ [0,04 + 0,04 +0,00] = 0,08
L'équation du RPS pour notre exemple à 3 intervalles donne (0,20 moins 0,00) au carré, plus (0,80 moins 1,00) au carré, plus (1,00 moins 1,00) au carré. Cela donne 0,04 plus 0,04 plus 0,00, soit un RPS d'une valeur de 0,08. Cette valeur est proche de la valeur parfaite du RPS (0,0), ce qui signifie que les probabilités prévues présentaient une faible erreur.
Valeurs de la probabilité cumulative pour le calcul du RPS.
| Calcul du RPS pour les probabilités climatologique vs observée pour le non-dépassement | ||
|---|---|---|
| Probabilité cumulative prévue | Probabilité cumulative observée | |
| Intervalle 1 : faible débit | 0,20 | 0,00 |
| Intervalle 2 : débit moyen | 0,80 | 1,00 |
| Intervalle 3: débit élevé | 1,00 | 1,00 |
En appliquant la même méthode et en vous appuyant sur les données indiquées pour les probabilités de débit climatologiques, sachant que le débit moyen a été observé, quelle serait la valeur du RPS pour la référence climatologique?
Choisissez la meilleure réponse.
La bonne réponse est c) Σ [(0,60-0,00)2+(0,90-1,00)2+(1,00-1,00)2] = 0,37
Pour les références climatologiques, les probabilités cumulatives des intervalles de débit faible, moyen et élevé sont, respectivement, de 0,60, 0,90 et 1,00. Les probabilités cumulatives observées pour les intervalles à faible débit, à débit moyen et à débit élevé sont, respectivement, de 0,00, 1,00 et 1,00. L'équation est donc (0,60 moins 0,00) au carré, plus (0,90 moins 1,00) au carré, plus (1,00 moins 1,00) au carré, soit 0,36 plus 0,01 plus 0,00, ce qui donne un RPS de 0,37. Comme ce résultat est plus éloigné de la valeur parfaite (0,00) que le RPS que nous avons calculé pour la prévision, la prévision climatologique de référence est moins exacte que la prévision.

La meilleure valeur pour le RPS est de 0,00, mais la pire valeur dépend du nombre d’intervalles utilisés. Souvent, on normalise l'indice RPS en le divisant par le nombre d’intervalles moins 1. Cette formulation est parfois appelée « RPS normalisé ».
Le RPS continu (qui sera vu à la section 6) est une formulation qui permet à l'indice d'être indépendant du nombre d’intervalles de prévision utilisés.