FDP/ FRC

Fonction de densité de probabilité (FDP) et fonction de répartition cumulative (FRC)

La fonction de densité de probabilité (FDP) et la fonction de répartition cumulative (FRC) permettent de visualiser les fonctions de probabilité de certaines variables continues. Dans le contexte des prévisions, elles présentent la distribution des valeurs prévues.

Nous présenterons tout d’abord la FDP et la FRC en considérant des distributions normales. Nous aborderons ensuite les distributions asymétriques, qui sont fréquentes pour les variables hydrologiques.

Exemple de FDP et de FRC

Sur les deux graphiques, l'axe des x est gradué dans l'unité des données concernées, en l'occurrence une unité de débit telle que les mètres cubes par seconde ou les litres par seconde. L'axe des y indique la probabilité, qui va de 0 (probabilité nulle) à 1,0 (probabilité de 100 %).

Exemple simple de FDP et de FRC

Commençons par le cas simple d'une prévision déterministe qui indique un débit de 600 unités de débit. Sur le graphique FDP se trouve un point avec une probabilité de 1,0 à la valeur de 600 unités. La courbe prend la forme d’une seule ligne verticale. Sur le graphique FRC se trouve une ligne avec une probabilité de 0,0 pour toutes les valeurs de débit inférieures à 600 unités, puis la probabilité cumulative devient 1,0 pour les valeurs de 600 unités ou plus.

Graphiques de FDP et de FRC:

  1. Ils peuvent être élaborés à partir de prévisions probabilistes ou de plusieurs prévisions déterministes de valeur unique.
  2. Si l’on a plusieurs prévisions, les graphiques permettent de visualiser leur distribution.

Mais les graphiques de FDP et de FRC sont généralement utilisés pour plus d'une valeur prévue. C'est pourquoi ces courbes révèlent une dispersion des valeurs au fur et à mesure que la probabilité change. On peut créer ces graphiques à partir de prévisions probabilistes ou de plusieurs prévisions déterministes de valeur unique. Lorsqu'on dispose de plusieurs prévisions, les graphiques de FDP et de FRC présentent leur distribution.

Nous verrons plus tard comment utiliser une FRC pour plusieurs prévisions ou pour des prévisions probabilistes et établir une comparaison avec une observation de valeur unique. Cela nous fournira la base d'un indicateur appelé l'indice de probabilité ordonné.

Courbe de FDP avec indication de la moyenne

La FDP fait ressortir les valeurs les plus fréquentes. Ici, ces valeurs sont proches de 600 unités.

Courbes de FDP légèrement décalées

La FDP montre également comment les valeurs se répartissent autour de la moyenne. Un pic net et très marqué indique un faible écart type ou des prévisions d'un degré de confiance élevé.

Courbes de FDP plus nettement décalées

Un pic large et peu marqué indique un écart type plus important, ou une plus grande incertitude autour du débit.

Courbes de FDP ayant des moyennes différentes

Si le pic se situe ailleurs sur l'axe des x, la valeur moyenne est différente.

FDP pour une distribution normale

Ici, comme les distributions sont normales, la médiane et la moyenne ont la même valeur.

L’aire au-dessous de la courbe de FPD est égale à 1,0

L'aire au-dessous de la courbe de FDP est égale à 1,0. C'est une caractéristique importante, car tout du spectre des données est circonscrit par la courbe.

Graphique de FRC

Le graphique de FRC correspondant présente la probabilité cumulative pour un niveau de débit donné.

Exemple de FRC

Par exemple, la courbe reflétant une forte variance indique une probabilité de 90 % que l’écoulement soit de 900 unités de débit ou moins. On peut aussi en déduire qu'un dépassement n’est pas probable. Autrement dit, la probabilité de ne pas dépasser 900 unités de débit s'élève à 90 %.

FRC présentant la pente positive la plus marquée

La pente positive la plus forte correspond à la valeur la plus fréquente, qui se situe autour de 600 unités pour ces courbes.

Valeur médiane de la FRC

La médiane correspond à la valeur de probabilité cumulative de 0,5 sur la courbe de FRC, car, par définition, la médiane est le point de partage entre la moitié inférieure et la moitié supérieure des valeurs.

FRC pour les faibles variances

Les courbes de FRC des ensembles de données à faible variance couvrent une plus petite plage de valeurs sur l'axe des x et ont une pente plus marquée.

FRC à variance plus fortes

Les variances plus fortes sont reflétées par des courbes de pente moins forte et couvrent une plus grande plage de valeurs sur l'axe des x.